Eclats de vers : Matemat : Décomposition en fonctions positives
Table des matières
\label{chap:mesure}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
- Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
- Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
2. Introduction
On considère une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et les fonctions positives associées \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :
\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \ge 0 \) \( f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \ge 0 \end{align}3. Mesurabilité
On constate que les ensembles suivant sont dans la tribu :
\begin{align} A^+ &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur 0 \} \in \mathcal{T} \) \( A^0 &= \{ x \in A : f(x) = 0 \} \in \mathcal{T} \) \( A^- &= \{ x \in A : f(x) \strictinferieur 0 \} \in \mathcal{T} \end{align}On a clairement \(A = A^+ \cup A^0 \cup A^-\). On voit que :
- Sur \(A^+\), on a \(f^+ = f \strictsuperieur 0\) et \(f^- = 0\)
- Sur \(A^0\), on a \(f^+ = f = 0\) et \(f^- = -f = 0\)
- Sur \(A^-\) on a \(f^+ = 0\) et \(f^- = -f \strictsuperieur 0\)
3.1. Conditions \(\strictsuperieur a\)
Soit un réel \(a \strictinferieur 0\). La condition \(f^+(x) \ge 0 \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur a\). Comme \(f^+\) est positive, cette condition est satisfaite pour tout \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :
\( \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^+(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^-(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \)
Soit un réel \(a \ge 0\). La condition \(f^+(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^+\), où \(f^+ = f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^+\) en utilisant l'intersection. Comme l'intersection de deux ensembles d'une tribu est dans la tribu, on a finalement :
\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^+ \in \mathcal{T} \end{align}La condition \(f^-(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^-(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^-\), où \(f^- = -f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^-\) en utilisant l'intersection. La fonction \(-f\) étant mesurable, on a finalement :
\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^- \in \mathcal{T} \end{align}3.2. Conditions \(\strictinferieur a\)
Soit un réel \(a \le 0\). Comme \(f^+ \ge 0\), la condition \(f^+(x) \strictinferieur a \le 0\) n'est satisfaite pour aucun \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :
\( \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \)
\( \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \)
Soit un réel \(a \strictsuperieur 0\). Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^+(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :
- Si \(x \in A^- \cup A^0\), on a \(f^+(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
- Sinon, \(x \in A \setminus (A^- \cup A^0) = A^+\) et il faut toujours imposer \(f^+(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = f^+\).
On a donc :
\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} &= (A^- \cup A^0) \cup \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^-(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :
- Si \(x \in A^+ \cup A^0\), on a \(f^-(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
- Sinon, \(x \in A \setminus (A^+ \cup A^0) = A^-\) et il faut toujours imposer \(f^-(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = -f^-\).
On a donc :
\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} &= (A^+ \cup A^0) \cup \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \) \( &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}On conclut de ce qui précède que les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont mesurables.