Eclats de vers : Matemat : Constructions géométriques

Le schéma ci-dessous illustre la construction de la médiatrice \(m\) du segment \([A,B]\) :

On définit :

\[ \mathscr{L} = \abs{AB} \]

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) à peu près compris entre \(2 \ \mathscr{L} / 3\) et \(\mathscr{L}\)
   • si le rayon est trop près de \(\mathscr{L}/2\), les points d’intersection vont être très proches, ce qui peut poser un problème de précision
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
3. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(B\) et de rayon \(r\)
4. on note \(D\) et \(E\) les deux points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\)
5. tracer \(m = (DE)\)

Par construction, on a :

\[ \abs{AD} = \abs{AE} = \abs{BD} = \abs{BE} \]

Le quadrilatère \(AEBD\) est donc un losange. Les segments \([A,B]\) et \([D,E]\) sont les diagonales du losange \(AEBD\) : ils sont donc perpendiculaires et se coupent en leur milieu. La droite \(m = (DE)\) est bien la médiatrice du segment \([A,B]\)

Le schéma ci-dessous illustre la construction de la bissectrice \(b\) de l’angle \(\angleflex{AOB}\) :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r_1\)
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(O\) et de rayon \(r_1\)
   • soit \(D\) l’intersection de la droite \((OA)\) avec \(\mathscr{C}_1\)
   • soit \(E\) l’intersection de la droite \((OB)\) avec \(\mathscr{C}_1\)
3. ouvrir le compas d’un rayon \(r_2\)
4. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(D\) et de rayon \(r_2\)
5. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(E\) et de rayon \(r_2\)
   • le rayon de \(\mathscr{C}_3\) est donc le même que celui de \(\mathscr{C}_2\)
6. soit \(I\) l’intersection de \(\mathscr{C}_2\) avec \(\mathscr{C}_3\)
7. tracer \(b = (OI)\)

Par construction, on a :

\[ \abs{OD} = \abs{OE} \]

\[ \abs{DI} = \abs{EI} \]

Le quadrilatère \(ODIE\) est donc un cerf-volant. La diagonale \([O,I]\) est perpendiculaire à la séparation \([D,E]\) entre les deux triangles isocèles qui composent ce cerf-volant : la droite \(b = (OI)\) est bien la bissectrice de l’angle \(\angleflex{DOE} = \angleflex{AOB}\).

Soit un point \(T\) et une droite \(d\). Le schéma ci-dessous illustre la construction de la droite \(p\), perpendiculaire à \(d\) et passant par \(T\) :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(R\) supérieur à la distance entre le point \(T\) et la droite \(d\)
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(T\) et de rayon \(R\)
3. on note \(A\) et \(B\) les deux points d’intersections de la droite \(d\) avec l’arc de cercle \(\mathscr{C}_1\)
4. on note \(\mathscr{L} = \abs{AB}\)
5. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) à peu près compris entre \(2 \ \mathscr{L} / 3\) et \(\mathscr{L}\)
   • si le rayon est trop près de \(\mathscr{L}/2\), les points d’intersection vont être très proches, ce qui peut poser un problème de précision
6. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
7. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(B\) et de rayon \(r\)
8. on note \(D\) et \(E\) les deux points d’intersections de \(\mathscr{C}_2\) et \(\mathscr{C}_3\)
9. tracer la droite \(p = (TE)\)
10. on note \(F\) le point d’intersection entre \(d\) et \(p\)

Par construction, on a :

\[ \abs{AT} = \abs{TB} \]

\[ \abs{AE} = \abs{EB} \]

Le quadrilatère \(AEBT\) est donc un cerf-volant. Les segments \([A,B]\) et \([T,E]\) sont les diagonales de ce cerf-volant : ils sont donc perpendiculaires. La droite \(p = (TE)\) est bien perpendiculaire à la droite \(d = (AB)\) et passe par \(T\) puisque :

\[ T \in (TE) = p \]

Les propriétés des diagonales du cerf-volant nous montrent aussi que :

\[ \abs{AF} = \abs{FB} \]

La droite \(p\) est également la médiatrice du segment \([A,B]\).