Eclats de vers : Matemat : Collections
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:collections}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
2. Définition
Une collection est un ensemble d'ensembles, c'est-à-dire un ensemble dont les éléments sont également des ensembles.
3. L'ensemble des sous-ensembles
Une collection particulièrement importante est l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble donné \(A\). On le note :
\[\sousens(A) = \{ S : S \subseteq A \}\]
{\em Remarque :} la notation \(\sousens\) est une notation globale, vous la retrouver dans d'autres chapitres.
4. Union
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :
\[\bigcup \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : \text{ il existe } A \in \mathcal{C} \text{ tel que } a \in A \}\]
Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à au moins un des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).
5. Intersection
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'intersection des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :
\[\bigcap \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : a \in A \text{ pour tout } A \in \mathcal{C} \}\]
Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à tous les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).
6. Collection paramétrée
Soit un ensemble \(X\) et la collection :
\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]
On appelle ce type de collection une collection paramétrée. L'ensemble \(X\) est appelé ensemble de paramètres.
6.1. Union
L'union de tous ces ensembles est l'ensemble dont les éléments appartiennent à au moins un des \(A(x)\), pour un certain \(x \in X\) :
\[\bigcup_{x \in X} A(x) = \{ a \in \Omega : \text{ il existe } x \in X \text{ tel que } a \in A \}\]
L'intersection est l'ensemble des éléments appartenant à tous les \(A(x)\), pour tout les \(x \in X\) :
\[\bigcap_{x \in X} A(x) = \{ a \in \Omega : a \in A(x) \text{ pour tout } x \in X \}\]
7. Collections discrètes
Soit $A1,A2,A3,…$ une collection finie ou infinie d'ensembles. L'union de tous ces ensembles se note :
\[\bigcup_i A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\]
L'ensemble des éléments qui sont communs à tous ces ensembles se note :
\[\bigcap_i A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ...\]
7.1. Finie
Dans le cas où la collection est finie, par exemple \(A_1,A_2,...,A_n\), on note simplement :
\[\bigcup_{i = 1}^n A_i = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n\]
ainsi que :
\[\bigcap_{i = 1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n\]
7.2. Infinie
Dans le cas où la collection est infinie, on note simplement :
\[\bigcup_{i = 1}^{+\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup ...\]
ainsi que :
\[\bigcap_{i = 1}^{+\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap ...\]
8. Distributivité
On a :
\[A \cap \bigcup_{x \in X} B(x) = \bigcup_{x \in X} \big[A \cap B(x)\big]\]
et :
\[A \cup \bigcap_{x \in X} B(x) = \bigcap_{x \in X} \big[A \cup B(x)\big]\]
Les collections discrètes en sont un cas particulier :
\( A \cap \bigcup_i B_i = \bigcup_i \big[A \cap B_i\big] \\ \)
\( A \cup \bigcap_i B_i = \bigcap_i \big[A \cup B_i\big] \)
9. Complémentaire
Soit une collection \(\{ A(x) : x \in X \} \subseteq \sousens(\Omega)\) de sous-ensembles de \(\Omega\). On a :
\[\Omega \setminus \bigcup_{x \in X} A(x) = \bigcap_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]
et :
\[\Omega \setminus \bigcap_{x \in X} A(x) = \bigcup_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]
Les collections discrètes en sont un cas particulier :
\( \Omega \setminus \bigcup_i A_i = \bigcap_i \big[\Omega \setminus A_i\big] \\ \)
\( \Omega \setminus \bigcap_i A_i = \bigcup_i \big[\Omega \setminus A_i\big] \)