Eclats de vers : Matemat : Calcul stochastique
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:stocha}
1. Processus stochastique
Un processus stochastique est une fonction :
\[X : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto X(t,\omega)\]
On sous-entend souvent l'événement \(\omega\), et on note \(X(t)=X(t,\omega)\).
2. Intégrale d'Ito
Il s'agit d'une intégrale utilisant un processus stochastique \(X\) comme mesure :
\[I(t) = \int_0^t f(s) \ dX(s) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k f(t_k) (X(t_{k+1}) - X(t_k))\]
3. Variation quadratique
Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les \(N\) temps \(t_k = k \cdot \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation quadratique d'une fonction \(f\) :
\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^2\]
Si la dérivée de \(f\) existe, la variation quadratique s'annule car :
\[(f(t_{k+1}) - f(t_k))^2 \to \delta^2 \ \OD{f}{t}(t_k)^2\]
Comme \(\delta^2 \to \delta \ ds\), on a :
\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \delta \int_0^T \left(\OD{f}{t}(s)\right)^2 ds = 0\]
4. Variation conjointe
Considérons maintenant deux processus stochastiques \(X,Y\). Nous définissons la variation conjointe \(\variation{X,Y}\) :
\[\variation{X,Y}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (X(t_{k+1}) - X(t_k)) \ (Y(t_{k+1}) - Y(t_k))\]
Dans le cas où les dérivées de \(X\) et de \(Y\) existent, on a évidemment : \(\variation{X,Y} = 0\).
Pour une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR\) quelconque, nous avons :
\[df(X,Y) = f(X + \ dX,Y + dY) - f(X,Y)\]
Dans le cas particulier où \(f(X,Y)=X \cdot Y\), cette expression se réduit à :
\begin{align} d(X \cdot Y) &= (X + \ dX) \cdot (Y + dY) - X \cdot Y \) \( &= \ dX \cdot Y + X \cdot dY + \ dX \cdot dY \end{align}Mais comme :
\[\variation{X,Y}(t) = \int_0^t \ dX \cdot dY\]
on a en définitive :
\begin{align} X(t) Y(t) - X(0) Y(0) &= \int_0^t d(X Y)(s) \) \( &= \int_0^t X(s) \ dY(s) + \int_0^t Y(s) \ dX(s) + \variation{X,Y}(t) \end{align}5. Relations variations quadratiques - conjointes
La définition nous donne directement :
\[\variation{X} = \variation{X,X}\]
On peut aussi vérifier que :
\[(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4 \ X \ Y\]
d'où l'on déduit :
\[\variation{X,Y} = \unsur{4} ( \variation{X + Y} - \variation{X - Y} )\]
6. Variation d'ordre quelconque
Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les temps \(t_k = k \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation d'ordre \(n\) d'une fonction \(f\) :
\[\variation{f}^n(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^n\]
7. Calcul d'Ito
Soit une fonction \(F : \setR^n \mapsto \setR\) et \(N\) processus stochastiques \(X_i\) dont les variations d'ordre \(n \ge 3\) s'annulent. Soit \(X=(X_1,...,X_N)\). On peut écrire le développement en série de Taylor d'ordre 2 :
\[F(X + \Delta) - F(X) \approx \deriveepartielle{F}{X}(X) \Delta + \unsur{2} \Delta^T \dblederiveepartielle{F}{X}(X) \Delta\]
En faisant tendre \(\Delta \to 0\), on obtient :
\[dF = \deriveepartielle{F}{X} \ dX + \unsur{2} \ dX^T \dblederiveepartielle{F}{X} \ dX\]
On a donc la formule de Ito pour une fonction $f : \setRn \mapsto \setR $ :
\[dF = \sum_i \deriveepartielle{F}{X_i} \ dX_i + \unsur{2} \sum_{i,j} \dfdxdy{F}{X_i}{X_j} \ dX_i \ dX_j\]
Ce qui nous permet d'évaluer une variation de \(F\) :
\( F(X(t)) - F(X(0)) = \sum_i \int_0^t \deriveepartielle{F}{X_i}(X(s)) \ dX_i(s) + \)
\( \unsur{2} \sum_{i,j} \int_0^t \dfdxdy{F}{X_i}{X_j}(X(s)) \ d\variation{X_i,X_j}(s) \)
7.1. Dérivées ordinaires
Dans le cas d'une seule variable, on a :
\[dF = \sum_i \OD{F}{X} \ dX + \unsur{2} \OOD{F}{X} \ dX \ dX\]
Ce qui nous permet d'évaluer une variation de \(F\) :
\( F(X(t)) - F(X(0)) = \sum_i \int_0^t \OD{F}{X}(X(s)) \ dX(s) + \)
\( \unsur{2} \int_0^t \OOD{F}{X}(X(s)) d\variation{X}(s) \)
8. Mouvement Brownien
Un mouvement brownien est un processus stochastique :
\[B : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto B(t,\omega)\]
continu par rapport à \(t\) :
\[B_\omega : t \mapsto B(t,\omega) \in \Cont([0,+\infty))\]
De plus, si on définit :
\[\mathcal{B}_t : \omega \mapsto B(t,\omega)\]
on a la propriété d'indépendance des variations temporelles :
\[\cov{\mathcal{B}_u - \mathcal{B}_t}{\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s} = 0\]
pour tout \(s \strictinferieur t \strictinferieur u\) positifs. On demande aussi qu'une variation \(\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s\) suive une loi normale d'espérance nulle et de variance \(t-s\) :
\( \esperof{\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s}=0 \)
\( \var{\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s} = t - s \)
8.1. Variation quadratique
Si les mouvements browniens sont continus, ils ne sont pas dérivables. Comme les variations sont normalement distribuées avec une moyenne nulle et une variance \(t - s\), on en déduit (en utilisant par exemple le moment générateur des densités normales) :
\( \esperof{(\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s)^2} = t - s \)
\( \var{(\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s)^2} = 2 \ (t - s)^2 \)
La variation quadratique des mouvement browniens peut s'écrire :
\[\variation{B_\omega}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (B_\omega(t_{k+1}) - B_\omega(t_k))^2\]
Lorsque \(\delta \to 0\), on a \(N \to +\infty\) et la loi des grands nombres nous dit que chaque terme de la somme de droite converge vers la variance \(\delta\). Comme on a \(N\) termes, on obtient :
\[\sum_k B_\omega(t_{k+1}) - B_\omega(t_k) \to N \delta = T\]
On a donc :
\[\variation{\mathcal{B}_\omega}(T) = T\]
Ce que l'on note symboliquement sous forme différentielle par :
\[dB(t) \cdot dB(t) = dt\]
8.2. Variations d'ordre quelconque
Les variations \(\variation{B}^n\) d'un mouvement brownien s'annulent pour \(n \ge 3\).
8.3. Multidimensionnel
Nous définissons un mouvement Brownien de dimension \(n\) comme une collection de \(n\) mouvements Browniens \(B_i\) indépendants et vérifiant :
\[\variation{B_i,B_j}(t) = \indicatrice_{ij} \cdot t\]
8.4. Calul d'Ito
Dans le cas de \(N\) mouvement browniens \(B_i\), les équations d'Ito deviennent :
\[dF = \sum_i \deriveepartielle{F}{X_i} dB_i + \unsur{2} \sum_{i,j} \dfdxdy{F}{X_i}{X_j} \ dB_i \ dB_j\]
Mais comme \(dB_i dB_j = d\variation{B_i,B_j} = \indicatrice_{ij} \ dt\), on a :
\[dF = \sum_i \deriveepartielle{F}{X_i} \ dB_i + \unsur{2} \sum_i \dfdxdy{F}{X_i}{X_i} \ dt\]
Ce qui nous permet d'évaluer une variation de \(F\) :
\( F(X(t)) - F(X(0)) = \sum_i \int_0^t \deriveepartielle{F}{X_i}(X(s)) \ dX_i(s) + \)
\( \unsur{2} \sum_i \int_0^t \dfdxdy{F}{X_i}{X_i}(X(s)) \ ds \)
8.5. Dérivée ordinaire
Le cas particulier unidimensionnel nous donne :
\[dF(B) = \OD{F}{X}(B) \ dB + \unsur{2}\OOD{F}{X}(B) \ dB \cdot dB\]
Mais comme :
\[d\variation{B} = dB \cdot dB = dt\]
on a :
\[dF(B) = \OD{F}{X}(B) \ dB + \unsur{2}\OOD{F}{X}(B) \ dt\]
et :
\[F(B(t))-F(B(0)) = \int_0^t \OD{F}{X}(B(s)) \ dB(s) + \unsur{2} \int_0^t \OOD{F}{X}(B(s)) \ ds\]
AFAIRE : PROCESSUS DE POISSON