Eclats de vers : Matemat : Booléens
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:booleens}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations
- Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre
2. Définition
L'ensemble de Boole se définit par :
\[\setB = \{ 0 , 1 \}\]
On associe souvent à \(0\) le sens de « faux » et à \(1\) le sens de « vrai ».
3. La loi « et »
Soit \(C_1, C_2 \in \setB\). La condition « \(C_1\) et \(C_2\) » n'est vraie (\(=1\)) que si \(C_1 = 1\) et \(C_2 = 1\). On définit donc l'opération « ET », notée \(\cdot : \setB \times \setB \mapsto \setB\), par :
\( 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1 \cdot 0 = 0 \)
\( 0 \cdot 1 = 0 \)
\( 0 \cdot 0 = 0 \)
4. La loi « ou »
Soit \(C_1, C_2 \in \setB\). La condition « \(C_1\) ou \(C_2\) » est vraie (\(=1\)) dès qu'au moins un des deux \(C_i = 1\). On définit donc l'opération « OU », notée \(\oplus : \setB \times \setB \mapsto \setB\), par :
\( 1 \oplus 1 = 1 \)
\( 1 \oplus 0 = 1 \)
\( 0 \oplus 1 = 1 \)
\( 0 \oplus 0 = 0 \)
5. Le contraire
Le contraire de vrai est simplement faux et inversément. On définit donc le contraire de \(C \in \setB\) noté \(\neg C\), par :
\( \neg 1 = 0 \)
\( \neg 0 = 1 \)