Eclats de vers : Matemat : Binômes

Soit \(a,b,c,d \in \corps\). Le produit de deux binômes peut se distribuer en deux étapes pour nous donner :

\begin{align*} (a + b) \cdot (c + d) &= a \cdot (c + d) + b \cdot (c + d) \\ &= a \ c + a \ d + b \ c + b \ d \end{align*}

Pour le carré de la somme, on a :

\begin{align*} (a + b)^2 &= (a + b) \cdot (a + b) \\ &= a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) \\ &= a^2 + a \ b + b \ a + b^2 \end{align*}

et finalement :

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2 \ a \ b + b^2 \]

Pour le carré de la différence, on a :

\begin{align*} (a - b)^2 &= (a - b) \cdot (a - b) \\ &= a \cdot (a - b) - b \cdot (a - b) \\ &= a^2 - a \ b - b \ a + b^2 \end{align*}

et finalement :

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2 \ a \ b + b^2 \]

Soit \(a,b \in \corps\). On a :

\begin{align*} (a - b) \cdot (a + b) &= a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b) \\ &= a^2 + a \ b - b \ a - b^2 \end{align*}

La multiplication sur le corps \(\corps\) étant commutative, on a \(a \ b = b \ a\) et :

\[ (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2 \]

Le binôme canonique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(b_n : \corps \to \corps\) définie par :

\[b_n(x) = (1 + x)^n\]

pour tout \(x \in \corps\). On a par exemple :

\begin{align} b_0(x) &= (1 + x)^0 = 1 \\ b_1(x) &= (1 + x)^1 = 1 + x \\ b_2(x) &= (1 + x)^2 = (1 + x) \cdot (1 + x) = 1 + 2 \ x + x^2 \end{align}

On voit donc que le binôme canonique de degré \(n\) peut s'écrire comme :

\[b_n(x) = (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n a_{nk} \cdot x^k\]

pour certains coefficients \(a_{nk} \in \corps\). On nomme ces coefficients les « nombres binômiaux », et on les note :

\[\binome{n}{k} = a_{nk}\]

On a donc :

\[ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k\]

L'expression de \(b_0\) nous donne :

\[\binome{0}{0} = 1\]

On peut évaluer récursivement les nombres binômiaux d'ordres plus élevés en utilisant la définition de la puissance :

\[b_n(x) = (1 + x) \cdot b_{n-1}(x)\]

Il vient alors :

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k &= (1 + x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^{k + 1} \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{i = 1}^n \binome{n - 1}{i - 1} \cdot x^i \end{align*}

et finalement :

\begin{Eqts} \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k = \binome{n - 1}{0} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \left[ \binome{n - 1}{k} + \binome{n - 1}{k - 1} \right] \cdot x^k + \binome{n - 1}{n - 1} \cdot x^n \end{Eqts}

En égalisant les coefficients des \(x^0 = 1\), nous avons :

\[\binome{n}{0} = \binome{n - 1}{0}\]

On en déduit par récurrence que :

\[\binome{n}{0} = 1\]

En égalisant les coefficients des \(x^n\), nous avons :

\[\binome{n}{n} = \binome{n - 1}{n - 1}\]

On en déduit par récurrence que :

\[\binome{n}{n} = 1\]

En égalisant les coefficients de \(x^k\) pour \(k \in \{1,...,n-1\}\), il vient :

\[\binome{n}{k} = \binome{n - 1}{k} + \binome{n - 1}{k - 1}\]

Il est donc facile d'évaluer les coefficients de \(b_n\) à partir des coefficients de \(b_{n - 1}\).

Le binôme générique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(B_n : \corps \times \corps \mapsto \corps\) définie par :

\[B_n(x,y) = (x + y)^n\]

pour tout \((x,y) \in \corps^2\). Nous avons la forme équivalente :

\[B_n(x,y) = y^n \cdot \left( 1 + \frac{x}{y} \right)^n = y^n \cdot b_n\left( \frac{x}{y} \right)\]

c'est-à-dire :

\[B_n(x,y) = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]

Par commutativité de l'addition, on a \(B_n(x,y) = B_n(y,x)\) et :

\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} \cdot y^i \cdot x^{n - i}\]

Procédant au changement d'indice \(n - i = k\), il vient :

\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{n - k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]

On en déduit en égalisant les coefficients de \(x^k\) que :

\[\binome{n}{k} = \binome{n}{n - k}\]

En considérant le cas particuliers \(x = y = 1\), on constate que :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} = (1 + 1)^n = 2^n\]

Pour \(x = -1\), \(y = 1\), on a :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot (-1)^k = (-1 + 1)^n = 0^n = 0\]

Lorsque \(y = 1 - x\) on arrive à :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot (1-x)^{n-k} = (x + 1 - x)^n = 1^n = 1\]

Soit \(i,n \in \setN\) avec \(i \le n\). Les polynômes de Bernstein \(B_i^n\) sont définis par :

\[B_i^n(t) = \binome{n}{i} \cdot t^i \cdot (1 - t)^{n-i}\]

pour tout \(t \in [0,1]\).

Considérons l'espace fonctionnel \(\mathcal{F} = \fonction([0,1],\corps)\). L'opérateur de Bernstein \(\mathcal{B}_n : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}\) est défini par :

\[\mathcal{B}_n(f)(t) = \sum_{i = 0}^n f(i / n) \cdot B_i^n(t)\]

pour tout \(f \in \mathcal{F}\) et pour tout \(t \in [0,1]\).

Soit la fonction constante \(c \in \mathcal{F}\) associée à un certain \(c \in \corps\) et définie par :

\[c(t) = c\]

pour tout \(t \in [0,1]\).

L'opérateur de Bernstein possède l'importante propriété de conserver ces fonctions constantes :

\[\mathcal{B}_n(c)(t) = \sum_{i = 0}^n c \cdot B_i^n(t) = c \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} t^i \cdot (1 - t)^{n-i} = c\]

quelle que soit la valeur de \(t \in [0,1]\).