Eclats de vers : Matemat : Analyse de Fourier
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fourier}
1. Séries de Fourier
ARRANGER LE CHAPITRE
Constatons tout d'abord que :
\( ∫02π exp(\img k x) dx =
\begin{cases} 2 \pi & \mbox{si } k = 0 \\ 0 & \mbox{si } k \ne 0 \end{cases}\)
pour tout \(k\in\setZ\). En effet, si \(k=0\), l'intégrale devient :
\[\int_0^{2\pi} \exp(0) dx = \int_0^{2\pi} 1 dx = 2 \pi\]
Par contre, si \(k\ne 0\), le changement de variable :
\( s = \img k x \)
\( ds = \img k dx \)
nous mène à :
\[\int_0^{2\pi} \exp(\img k x) dx = \unsur{\img k} \int_0^{2\pi\img k} \exp(s) ds\]
le théorème fondamental nous donne alors :
\[\int_0^{2\pi} \exp(\img k x) dx = \unsur{\img k} [\exp(2\pi\img k)-\exp(0)] = 0\]
pour tout \(k\in\setZ\), par périodicité des exponentielles imaginaires. On généralise ce résultat en utilisant le changement de variable :
\[t = a + \frac{T}{2\pi} x\]
ce qui nous donne :
\[ \int_a^{a+T} \exp\left(\frac{2\pi\img k x}{T}\right) dx = \begin{cases} T & \mbox{si } k = 0 \\ 0 & \mbox{si } k \ne 0 \end{cases} \]
Définissons à présent le produit scalaire :
\[\scalaire{u}{v} = \int\limits_{-T/2}^{T/2} \bar{u}(x) v(x) dx\]
Soient les fonctions \(e_k\) :
\[e_k : x \mapsto \exp\left(\frac{2\pi\img k x}{T}\right)\]
où \(k\in\setZ\). Notons que :
\( \bar{e}_m e_n = \exp\left(-\frac{2\pi\img m x}{T}\right)\exp\left(\frac{2\pi\img n x}{T}\right) \)
\( \bar{e}_m e_n = \exp\left(\frac{2\pi\img (n-m) x}{T}\right) \)
La suite des \(e_k\) est donc orthonormée :
\[\scalaire{e_m}{e_n} = \int\limits_{-T/2}^{T/2} \exp\left(\frac{2\pi\img (n-m) x}{T}\right)dx = 2 \pi \delta_{mn}\]
Soit à présent \(u\in\ev{e_k : k\in\setZ}\) :
\[u(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{u}_k e_k\]
Nous avons vu au chapitre \ref{chap:vector} que les composantes d'un vecteur (ici la fonction \(u\)) par rapport à une base orthonormée s'écrivent :
\[\hat{u}_k = \scalaire{e_k}{u} = \int\limits_{-T/2}^{T/2} u(x) \exp\left(-\frac{2\pi\img k x}{T}\right)dx\]
Soit à présent \(v\) :
\[v(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{v}_k e_k\]
Utilisant à nouveau les propriétés des bases orthonormées, on a :
\[\scalaire{u}{v} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \conjugue(\hat{u}_k) \hat{v}_k\]
2. Transformeée de Fourier discrète
Dans le cas où :
\( a = \exp(\img x) \ne 1 \)
\( a^k = \exp(\img k x) \)
l'équation de la progression géométrique du chapitre \ref{chap:real} :
\[\sum_{i=0}^{n} a^i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\]
devient :
\[\sum_{k=0}^{n} \exp(\img k x) = \frac{1-\exp(\img (n+1) x)}{1-\exp(\img x)}\]
On voit alors que si \((n+1) x\) est un multiple entier de \(2\pi\), la somme s'annule par périodicité. Il existe toutefois une exception, lorsque \(x\) est un multiple entier de \(2\pi\), auquel cas :
\( \exp\left( \img k x \right) = \exp\left( 2 \pi \img k \right) = 1 \)
et :
\[\sum_{k=0}^{n} \exp(\img k x) = \sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1 \]
Posant \(N = n - 1\) et \(x = 2\pi l/N\), on obtient :
\[ (n + 1) x = \frac{N 2 \pi l}{N} = 2 \pi l \]
et :
\[ \sum_{k=0}^{N-1} \exp \left( \frac{2 \pi \img k l}{N} \right) = \begin{cases} N & \mbox{si } m = l/N \in\setZ \\ 0 & \mbox{si } m = l/N \notin\setZ \end{cases} \]
pour tout \(k,l,m,N \in \setZ\). Dans la suite nous utilisons la notation :
\[e(k,l) = \exp \left( \frac{2 \pi \img k l}{N} \right)\]
Nous allons en déduire la forme de la transformeée de Fourier discrète. Soit la série \(u_k : k = 0,...,N-1\) :
\[u_k = \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U_n e(k,n)\]
où nous supposons que \(N/2 \in\setN\). Multipliant par \(e(k,-m)\) où \(m \in \{-N/2,...,N/2-1\}\), et utilisant l'additivité des exponentielles, il vient :
Sommons à présent sur \(k\) :
\[\sum_{k=0}^{N-1} u_k e(k,-m) = \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U_n \sum_{k=0}^{N-1} e(k,n-m)\]
Mais la somme sur \(k\) du membre de droite s'annule sauf lorsque \(n-m\) est multiple entier de \(N\). Comme \(m,n\) sont dans \(\{-N/2,...,N/2-1\}\), le seul cas possible est ici \(m = n\). On a donc :
\[\sum_{k=0}^{N-1} u_k e(k,-m) = U_m N\]
et :
\[U_m = \unsur{N} \sum_{k=0}^{N-1} u_k e(k,-m)\]
Nous avons donc obtenu une bijection entre les \(u_k\) et les \(U_n\) :
\[ u_k = \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U_n \exp\left(\frac{2 \pi \img k n}{N}\right) \]
\[ U_n = \unsur{N} \sum_{k=0}^{N-1} u_k \exp\left(-\frac{2 \pi \img k n}{N}\right) \]
3. Transformeée de Fourier
3.1. Heuristique
On peut présenter le résultat précédent sous une autre forme. On peut poser :
\( x_k = k\Delta x \)
\( y_n = n\Delta y \)
avec la condition :
\[\Delta x \Delta y = \frac{1}{N}\]
Avec les fonctions \(u,v \in X \subset \fonction(\setR,\setR)\), on pose :
\( u_k = u(x_k) \)
\( U_n = U(y_n) \)
Soit :
où \(k = -N/2 , ... ,N/2 - 1\). Suivant un procédé analogue à la transformée de Fourier discière :
on aboutit à la relation inverse :
\[U(y_n) = \sum_{k = -N/2}^{N/2-1} u(x_k) \exp(-2 \pi \img x_k y_n) \Delta x\]
Choisissons :
\[\Delta x = \Delta y = \frac{1}{\sqrt{N}}\]
On voit que \(\Delta x\) et \(\Delta y\) tendent alors vers \(0\) lorsque \(N\) tend vers l'infini. Les sommes ci-dessus se rapprochent donc de plus en plus d'intégrales sur l'intervalle \([-\sqrt{N}/2,\sqrt{N}/2]\), qui tend lui-même vers \((-\infty,+\infty) = \setR\). On arrive donc aux relations :
\[ u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} U(y) \exp(2\pi\img x y) dy \]
\[ U(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
On définit alors la transformeée de Fourier \(\mathcal{F} : X \mapsto X\) et son inverse par :
\[ U(y) = \mathcal{F}(u)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
\[ u(x) = \mathcal{F}^{-1}(U)(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} U(y) \exp(2\pi\img x y) dy \]
3.2. Delta de Dirac
On déduit des relations ci dessus que :
\( u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img x y) dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) \exp(-2\pi\img z y) dz \)
\( u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) dz \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img (x-z) y) dy \)
On en déduit la relation fondamentale :
\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img (x-z) y) dy = \delta(x-z)\]
qui est l'extension de l'orthonormalité des bases discrètes. Ce n'est donc pas une intégrale au sens classique du terme, mais une distribution.
Cette relation nous montre aussi, lorsque \(z=0\), que :
\[\mathcal{F}(1)(x) = \delta(x)\]
Inversément, on a :
\[\mathcal{F}(\delta)(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \exp(-2\pi\img x y) dx = \exp(0) = 1\]
3.3. Produit scalaire
Considérons à présent le produit scalaire :
\[\scalaire{u}{v} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bar{u}(x) v(x) dx\]
et examinons \(\scalaire{\mathcal{F}(u)}{\mathcal{F}(v)}\). En utilisant la propriété d'orthonormalité, on arrive à :
\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int_{\setR^2} \bar{u}(x) v(z) \exp\left(2\pi\img (x-z) y\right) dx dz \)
\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int_{\setR^2} \bar{u}(x) v(z) \delta(x-z) dx dz \)
et donc :
\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bar{u}(x) v(x) dx \)
La transformeée de Fourier possède donc la propriété de conserver le produit scalaire :
\[\scalaire{\mathcal{F}(u)}{\mathcal{F}(v)} = \scalaire{u}{v}\]
3.4. Convolution
La transformeèe d'un produit de convolution s'écrit :
\( \mathcal{F}(u \star v)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2\pi\img x y) dx \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-z) v(z) dz \)
Considérons le changement de variable :
\( \xi = x - z \)
\( \eta = z \)
On a alors \(x = \xi + \eta\) et :
\( \mathcal{F}(u \star v)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\xi) \exp(-2\pi\img \xi y) d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} v(\eta) \exp(-2\pi\img \eta y) d\eta \)
c'est-à-dire :
\[\mathcal{F}(u \star v) = \mathcal{F}(u)\mathcal{F}(v)\]
3.5. Dérivées
Soit \(u\) une fonction qui s'annule à l'infini. La transformeée de Fourier de sa dérivée s'écrit :
\( \mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \OD{u}{x}(x)\exp(-2\pi\img x y) dx \)
En intégrant par partie, et en tenant compte du fait que les limites à l'infini sont nulles, il vient :
\( \mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) =
- (-2π\img y) ∫\limits-∞+∞ u(x)exp(-2π\img x y) dx
\)
et finalement :
\[\mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) = 2 \pi \img y \mathcal{F}(y)\]
3.6. Déphasage
Considérons l'opérateur de translation :
\[t_a(u)(x) = u(x-a)\]
La transformeée de Fourier d'une translatée de la fonction \(u\) s'écrit :
\( \mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-a) \exp(-2\pi\img x y) dx \)
\( \mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \exp(-2\pi\img a y) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-a) \exp(-2\pi\img (x-a) y) dx \)
Mais comme \(dx = d(x-a)\), on en déduit que :
\[\mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \exp(-2\pi\img a y)\mathcal{F}(u)(y)\]
3.7. Dilatation
Soit \(d_a\) l'opérateur de dilatation :
\[d_a(u)(x) = u(a x)\]
où \(a > 0\) est un réel strictement positif.
La transformeée de Fourier de la fonction dilaté \(d_a(u)\) s'écrit :
\( \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(a x) \exp(-2\pi\img x y) dx \)
Considérons le changement de variable \(z = a x\). On a alors :
\( \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \unsur{a}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) \exp\left(-2\pi\img z \frac{y}{a}\right) dz \)
\( \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \unsur{a}\mathcal{F}(u)(y/a) \)
c'est-à-dire :
\[\mathcal{F}\left[d_a(u)\right] = \unsur{a}\mathcal{F}\left[d_{1/a}(u)\right]\]
3.8. Gaussienne
Définissons la gaussienne \(G\) :
\[G(x) = \exp(-\pi x^2)\]
Sa transformeée s'écrit :
\[\mathcal{F}(G)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi x^2 - 2\pi\img x y) dx\]
Il est clair que :
\( \exp\left[ -\pi (x+\img y)^2 \right] = \exp(-\pi x^2 - 2 \pi\img x y)\exp(\pi y^2) \)
Il vient donc, en effectuant le changement de variable \(\xi = x + \img y\) :
\[\mathcal{F}(G)(y) = \exp(-\pi y^2) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi \xi^2) d\xi\]
Mais nous avons vu au chapitre \ref{chap:integ} que cette dernière intégrale vaut \(1\). Donc :
\[\mathcal{F}(G) = G\]
La transformeée de Fourier laisse \(G\) inchangée.
4. Auto-adjoint
La transformeée de Fourier (voir chapitre \ref{chap:fourier}) est définie par :
\[\mathcal{F}(u)(y) = \int_{\setR} u(x) \exp(2\pi \img x y) dx\]
où \(\img = \sqrt{-1}\). On a :
\( \int_{\setR} \mathcal{F}(u)(y) v(y) dy = \int_{\setR} u(x) v(y) \exp(2\pi \img x y) dx dy \)
\( \int_{\setR} \mathcal{F}(u)(y) v(y) dy = \int_{\setR} u(x) \mathcal{F}(v)(x) dx \)
et donc :
\[\forme{\mathcal{F}(u)}{v} = \forme{u}{\mathcal{F}(v)}\]