Eclats de vers : Matemat : Algorithmes de résolution d’EDP
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:algoedp}
1. Résolution par les caractéristiques
AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE
Soit une équation du premier ordre à résoudre :
\[a(x,y,u) \ u_x(x,y) + b(x,y,u) \ u_y(x,y) = c(x,y,u)\]
Supposons que l'on connaisse la valeur de la solution :
\[u_{i0} = u(x_{i0},y_{i0})\]
pour \(i = 1,2,...,n\). Les équations :
\[\OD{x}{t} = a \qquad \OD{y}{t} = b \qquad \OD{u}{t} = c\]
nous permettent de construire simultanément les courbes caractéristiques et la solution. Par exemple, si on utilise le schéma d'Euler explicite, on a :
\( x_{i,k+1} = x_{ik} + h_k \ a(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \)
\( y_{i,k+1} = y_{ik} + h_k \ b(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \)
\( u_{i,k+1} = u_{ik} + h_k \ c(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \)
2. Différences finies
On vérifie sur le développement de Taylor de \(u\) que :
\( u_x(x,y) \approx \frac{u(x+h,y) - u(x-h,y)}{2 h} \)
\( u_y(x,y) \approx \frac{u(x,y+h) - u(x,y-h)}{2 h} \)
pour les dérivées premières et :
pour les dérivées secondes. L'erreur converge vers \(0\) aussi vite que \(h^2\). Posons :
\[U_{ij} = u(i h, j h)\]
Les dérivées approximatives s'écrivent :
\( u_x \approx \Delta_x U_{ij} = \unsur{2 h} \ (U_{i+1,j} - U_{i-1,j}) \)
\( u_y \approx \Delta_y U_{ij} = \unsur{2 h} \ (U_{i,j+1} - U_{i,j-1}) \)
et :
\( u_{xx} \approx \Delta_x^2 U_{ij} = \unsur{h^2} \ (U_{i+1,j} - 2 U_{ij} + U_{i-1,j}) \)
\( u_{yy} \approx \Delta_y^2 U_{ij} = \unsur{h^2} \ (U_{i,j+1} - 2 U_{ij} + U_{i,j-1}) \)
\( u_{xy} \approx \Delta_x\Delta_y U_{ij} = \unsur{4 h^2} \ (U_{i+1,j+1} - U_{i+1,j-1} - U_{i-1,j+1} + U_{i-1,j-1}) \)
On substitue alors ces expressions dans l'équation :
\[F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}) = 0\]
et on obtient un système linéaire à résoudre en les \(U_{ij}\).
3. Eléments finis
\label{sec:elements_finis}
Soient des espaces fonctionnels \(F,H\subset\fonction(\Omega,\setR)\) et un opérateur linéaire :
\[L \in \lineaire(F,H)\]
Nous cherchons à résoudre de manière approchée l'équation différentielle associée :
\[L(u) = f\]
où \(f\) est une fonction de \(H\). La méthode des éléments finis consiste à imposer l'annulation de l'intégrale du résidu \(L(u)\), pondéré par des fonctions \(\psi_i\) :
\[\int_\Omega \left[L(u)(x)-f(x)\right] \ \psi_i(x) \ dx = 0\]
pour \(i = 1,2,...,n\). Afin de résoudre ce problème, on discrétise la solution approchée \(u\) :
\[u(x) = \sum_{i=1}^n U_i \ \varphi_i(x)\]
où les \(U_i\) sont des réels et les \(\varphi_i\) des fonctions de \(F\). On définit les grandeurs :
\( A_{ij} = \int_\Omega L(\varphi_i)(x) \ \psi_i(x) \ dx \)
\( F_i = \int_\Omega f(x) \ \psi_i(x) \ dx \)
et les matrices :
\( U = (U_i)_i \)
\( A = (A_{ij})_{i,j} \)
\( F = (F_i)_i \)
En utilisant la linéarité de \(L\), l'équation des résidus pondérés :
\[\int_\Omega L(u)(x) \ \psi_i(x) \ dx = \int_\Omega f(x) \ \psi_i(x) \ dx\]
devient :
\[A \ U = F\]
soit un système linéaire à résoudre en \(U\) :
\[U = A^{-1} \ F\]
ce qui nous donne une forme approchée \(u\) de la solution exacte.