Eclats de vers : Matemat : Algorithmes de résolution d’EDO
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:algoedo}
1. Introduction
AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE
Le but est de calculer une approximation de la solution \(y\) de
\( \OD{y}{x}(x) = f(x,y(x)) \)
\( y(0) = y_0 \)
Pour cela, on choisit \(n\) points \(x_i\), et on tente de progresser en évaluant les approximations successives \(y_{i+1} \approx y(x_{i+1})\) à partir de \(y_i\), pour $i=0,1,2,…$. On pose :
\[h_i = x_{i+1} - x_i\]
1.1. Euler
On se sert de la formulation intégrale correspondant à l'équation différentielle que l'on veut résoudre :
\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]
Si \(h_i\) est suffisamment petit, la fonction \(y\) sera plus ou moins constante sur l'intervalle \([x_i,x_{i+1}]\) et on peut approximer la formulation intégrale par :
\[y_{i+1} = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]
Cette méthode se nomme Euler explicite.
\label{page:euler_expl}
1.2. Predicteur - Correcteur
On part de nouveau de :
\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]
On commence par calculer une première estimation de \(y(x_{i+1})\) en utilisant la méthode d'Euler explicite :
\[y_{i+1}^* = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]
La valeur \(y_{i+1}^*\) ainsi obtenue est nommé prédicteur.
Une fois cette première estimation évaluée, on construit une meilleure approximation de l'intégrale en supposant que, pour \(t\in [0,1]\) :
\[f\left(x_i + t \cdot h_i,y(x_i + t h_i)\right) \approx f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i)\]
avec :
\( f_i = f(x_i,y_i) \)
\( f^*_{i+1} = f(x_{i+1},y^*_{i+1}) \)
On obtient :
\begin{align} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx &\approx& h_i \int_0^1 \left[ f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i) \right] dt \) \( &\approx& \frac{h_i}{2} \cdot \left( f_i + f^*_{i+1} \right) \end{align}L'étape correctrice s'écrit donc :
\[y_{i+1} = y_i + \frac{h_i}{2} \cdot [f(x_i,y_i) + f(x_{i+1},y_{i+1}^*)]\]
1.3. Taylor
Partant des dérivées de la fonction \(y(x) = f(x,y(x))\) :
\begin{align} \OD{y}{x} &= f \) \( \frac{d^2 y}{dx^2} &= \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y}\OD{y}{x} = \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y} f \) \( \frac{d^3 y}{dx^3} &= ... \end{align}on peut écrire le développement en série de Taylor de \(y\) autour de \(x_i\) :
\[y_{i+1} = y_i + f(x_i,h_i) \ h_i + \OD{f}{x}(x_i,y_i) \ \frac{h_i^2}{2} + ...\]